Упр.15.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещивающиеся.

Предположим, что прямые $$AC$$ и $$BD$$ не скрещивающиеся. Тогда они либо пересекаются, либо параллельны. В обоих случаях эти прямые лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость через $$\alpha$$.

Так как точки $$A$$ и $$B$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, то по теореме о прямой, проходящей через две точки плоскости, прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$\alpha$$.

Аналогично, точки $$C$$ и $$D$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, значит прямая $$CD$$ тоже лежит в плоскости $$\alpha$$.

Получается, что прямые $$AB$$ и $$CD$$ лежат в одной плоскости, а значит, они не могут быть скрещивающимися. Это противоречит условию.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $$AC$$ и $$BD$$ скрещивающиеся.