Вопрос 4 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: центр окружности, описанной около треугольника, является
точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника,
проведенных через середины этих сторон (серединных перпендикуляров);
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник, а точка O-центр окружности,
описанной около него;
2) Отрезки OA и OC равны как радиусы одной окружности, значит
треугольник AOC-равнобедренный
3) Проведем медиану OD треугольника AOC, она будет являться и его
высотой, то есть центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной
стороне AC и проходящей через ее середину;
4) Аналогично доказывается, что центр окружности лежит на перпен-
дикулярах к сторонам AB и BC треугольника ABC, то есть является
точкой их пересечения, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а $$O$$ — центр окружности, описанной около него.

Рассмотрим стороны $$AC$$ и $$AB$$.

Так как $$OA=OC$$, то треугольник $$AOC$$ равнобедренный. Проведём медиану $$OD$$ к основанию $$AC$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, значит

$$OD \perp AC$$

и точка $$D$$ — середина отрезка $$AC$$. Следовательно, прямая $$OD$$ является серединным перпендикуляром к стороне $$AC$$.

Аналогично, так как $$OA=OB$$, треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому центр окружности $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $$AB$$.

Точно так же получаем, что $$O$$ лежит и на серединном перпендикуляре к стороне $$BC$$.

Значит, центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.