Вопрос 4 Параграф 12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит большая сторона.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ сторонам $$a,b,c$$ противолежат углы $$\alpha,\beta,\gamma$$ соответственно. Докажем, что если $$\alpha>\beta$$, то $$a>b$$, и наоборот.

Рассмотрим сначала случай, когда углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ острые. Тогда из неравенства $$\alpha>\beta$$ следует $$\sin\alpha>\sin\beta$$. По теореме синусов

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$

откуда

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}>1,$$

значит, $$a>b$$.

Если угол $$\alpha$$ тупой, то угол $$\beta$$ не может быть тупым, так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. Следовательно, $$\beta$$ острый, а угол $$180^\circ-\alpha$$, смежный с $$\alpha$$, меньше $$\beta$$. Тогда

$$\sin\alpha=\sin(180^\circ-\alpha)>\sin\beta.$$

Снова по теореме синусов получаем

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}>1,$$

то есть $$a>b$$.

Итак, из $$\alpha>\beta$$ следует $$a>b$$.

Докажем обратное: если $$a>b$$, то $$\alpha>\beta$$. Предположим противное, что $$\alpha\le \beta$$.

Если $$\alpha=\beta$$, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит, $$a=b$$, что противоречит условию $$a>b$$.

Если $$\alpha<\beta$$, то по уже доказанному из этого следует $$a<b$$, что также противоречит условию.

Следовательно, предположение неверно, и $$\alpha>\beta$$.

Таким образом, в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.