Вопрос 4 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите признак параллельности прямых.

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены секущей $$AB$$.

Докажем первый признак параллельности: если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Предположим противное: прямые $$a$$ и $$b$$ не параллельны, значит, они пересекаются в некоторой точке $$C$$. Секущая $$AB$$ делит плоскость на две полуплоскости; в одной из них лежит точка $$C$$.

Построим в другой полуплоскости треугольник $$BAC_1$$, равный треугольнику $$ABC$$. Тогда соответствующие углы при вершинах $$A$$ и $$B$$ равны внутренним накрест лежащим углам при прямых $$a$$ и $$b$$ и секущей $$AB$$.

По условию эти внутренние накрест лежащие углы равны, значит, равны и соответствующие углы треугольников $$ABC$$ и $$BAC_1$$. Следовательно, прямая $$AC_1$$ совпадает с прямой $$a$$, а прямая $$BC_1$$ совпадает с прямой $$b$$.

Но тогда через точки $$C$$ и $$C_1$$ проходят две различные прямые, что невозможно. Противоречие означает, что наше предположение неверно. Следовательно, $$a \parallel b$$.

Теперь докажем второй признак: если сумма внутренних односторонних углов равна $$180^\circ$$, то прямые параллельны.

Пусть внутренние односторонние углы равны $$\alpha$$ и $$\beta$$, причём

$$\alpha+\beta=180^\circ.$$

Тогда каждый из этих углов дополняет другой до развернутого, а значит, внутренние накрест лежащие углы равны. По уже доказанному признаку отсюда следует, что прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны.

Ответ: если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна $$180^\circ$$, то прямые параллельны.