Упр.6.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Решение:
1) Углы AED и ABC равны как внутренние накрест
лежащие при параллельныых прямых ED и BC и
секущей AB;
2) Сумма углов треугольника равна 180°, значит
у треугольников AED и ABC углы EDA и BCA равны
(так как угол A у них общий и угол AED = углу ABC);
3) Так как треугольник ABC-равнобедренный, то треугольник AED также
является равнобедренным, отсюда AE=ED;
4) В параллелограмме DEBF:
EB+ED=BE+AE=AB=5 м;
5) Так как противолежащие стороны у параллело-
грамма равны, то: BF+FD=EB+ED=5 м;
6) Найдем периметр параллелограмма DEBF:
PDEBF=BF+FD+EB+ED=5+5=10 м;

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, где $$AB=BC=5\text{ м}$$. Через точку $$D$$ на основании $$AC$$ проведены прямые $$DE \parallel BC$$ и $$DF \parallel AB$$, поэтому четырёхугольник $$DEBF$$ — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники $$AED$$ и $$ABC$$.

Углы $$AED$$ и $$ABC$$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$ED$$ и $$BC$$ и секущей $$AB$$.

Кроме того, $$\angle EDA = \angle BCA$$, так как они образованы соответственно параллельными прямыми $$ED \parallel BC$$ и $$DA \parallel CA$$.

Следовательно, $$\triangle AED \sim \triangle ABC$$. Но $$ABC$$ — равнобедренный, значит соответствующие стороны в подобных треугольниках равны, и потому $$AE=ED$$.

В параллелограмме $$DEBF$$ противоположные стороны равны, значит

$$BF=DE,\qquad FD=EB.$$

Тогда периметр параллелограмма равен

$$P_{DEBF}=BF+FD+EB+ED=2(EB+ED).$$

Так как $$EB+ED=AB=5\text{ м}$$, получаем

$$P_{DEBF}=2\cdot 5=10\text{ м}.$$