Упр.5.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если диаметр окружности, перпендикулярен хорде, то он
проходит через ее середину;
Доказательство:
1) Пусть AB-хорда окружности, а C-точка пересечения хорды и
диаметра;
2) Треугольник AOB равнобедренный (AO=OB=r) и OC-его высота
(так как он принадлежит диаметру), значит OC является и его медианой,
то есть отрезки AC и CB равны;
3) Таким образом, диаметр проходит через середину хорды, что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — хорда окружности, $$O$$ — её центр, а диаметр проходит через точку $$C$$ и перпендикулярен хорде $$AB$$. Докажем, что этот диаметр делит хорду пополам.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности, то треугольник $$AOB$$ равнобедренный.

Отрезок $$OC$$ лежит на диаметре и по условию перпендикулярен хорде $$AB$$, значит $$OC$$ — высота треугольника $$AOB$$, проведённая к основанию $$AB$$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Следовательно, $$C$$ — середина хорды $$AB$$, то есть

$$AC=CB.$$

Значит, диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через её середину.