Упр.4.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Дано: треугольник ABC; на прямой AC отложены отрезки AD=AB и CE=CB;
Найти: углы треугольника DBE зная углы треугольника ABC;
Решение:
1) Треугольники DBA и BEC равнобедренные (так как AD=AB и
BC=CE), тогда угол ADB = углу DBA и угол CBE = углу BEC;
2) Внешние углы треугольника равны сумме двух других углов;
3) Рассмотрим треугольник DBA:
угол ADB+ угол DBA = углу A, отсюда угол ADB = углу DBA=(угол A)/2;
4) Рассмотрим треугольник BCE:
угол BEC+ угол CBE = углу C, отсюда угол BEC = углу CBE=(угол C)/2;
5) угол DBE = углу DBA+ угол B+ угол CBE=(угол A+ угол C)/2+ угол B;
угол DBE=(180°- угол B)/2+ угол B=90°+(угол B)/2;
Ответ: (угол A)/2; (угол C)/2; 90°+(угол B)/2.
Треугольники $$DBA$$ и $$BEC$$ равнобедренные, так как $$AD=AB$$ и $$CE=CB$$. Поэтому
$$\angle ADB=\angle DBA,$$
$$\angle BEC=\angle CBE.$$
В треугольнике $$DBA$$ внешний угол при вершине $$A$$ равен сумме двух внутренних несмежных углов:
$$\angle ADB+\angle DBA=\angle A.$$
Так как $$\angle ADB=\angle DBA,$$ то
$$\angle ADB=\angle DBA=\frac{\angle A}{2}.$$
Аналогично, в треугольнике $$BCE$$:
$$\angle BEC+\angle CBE=\angle C,$$
откуда
$$\angle BEC=\angle CBE=\frac{\angle C}{2}.$$
Теперь найдём угол $$DBE$$:
$$\angle DBE=\angle DBA+\angle B+\angle CBE.$$
Подставим найденные значения:
$$\angle DBE=\frac{\angle A}{2}+\angle B+\frac{\angle C}{2}.$$
Так как в треугольнике $$ABC$$
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$
то
$$\angle DBE=\frac{\angle A+\angle C}{2}+\angle B=\frac{180^\circ-\angle B}{2}+\angle B=90^\circ+\frac{\angle B}{2}.$$
Ответ
$$\angle ADB=\angle DBA=\frac{\angle A}{2},\quad \angle BEC=\angle CBE=\frac{\angle C}{2},\quad \angle DBE=90^\circ+\frac{\angle B}{2}.$$
