Упр.9.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Два населённых пункта $$K$$ и $$M$$ расположены по разные стороны канала. В каком месте следует построить мост (перпендикулярно берегам канала) и прямолинейные дороги от населённых пунктов к мосту, чтобы путь между данными пунктами был кратчайшим?
Пусть мост пересекает канал в точках $$K_1$$ и $$M_1$$, причём $$K_1M_1$$ перпендикулярен берегам канала. Тогда путь из $$K$$ в $$M$$ через мост равен
$$KK_1+K_1M_1+M_1M.$$
Так как ширина канала постоянна, то длина $$K_1M_1$$ не зависит от выбора места моста. Значит, нужно сделать наименьшей сумму $$KK_1+M_1M$$.
Перенесём отрезок $$M_1M$$ параллельно самому себе так, чтобы точка $$M_1$$ совместилась с точкой $$K_1$$. Получим точку $$M_2$$, для которой
$$KK_1+M_1M=KK_1+K_1M_2.$$
Теперь нужно минимизировать сумму $$KK_1+K_1M_2$$. По неравенству треугольника она наименьшая тогда и только тогда, когда точки $$K$$, $$K_1$$ и $$M_2$$ лежат на одной прямой.
Следовательно, нужно:
- отложить от точки $$M$$ перпендикулярно берегам канала отрезок, равный ширине канала, и получить точку $$M_2$$;
- соединить точки $$K$$ и $$M_2$$;
- точка пересечения прямой $$KM_2$$ с ближайшим к $$K$$ берегом канала и будет местом постройки моста.
Итак, кратчайший путь получается, если мост построить в точке пересечения берега с прямой, соединяющей $$K$$ с точкой $$M_2$$, полученной отражением точки $$M$$ относительно берега канала.
