Упр.3.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (рис. 68).
Доказать: если у треугольников две стороны и медиана, выходящая из их общей вершины, равны, то эти треугольники равны.
Пусть $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — данные треугольники, причём $$AB=A_1B_1$$, $$BC=B_1C_1$$ и $$BM=B_1M_1$$, где $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы.
Построим на прямой $$MB$$ отрезок $$MB_2=MB$$ так, чтобы точки $$B$$ и $$B_2$$ лежали по разные стороны от прямой $$AC$$. Аналогично построим на прямой $$M_1B_1$$ отрезок $$M_1B_3=M_1B_1$$ так, чтобы точки $$B_1$$ и $$B_3$$ лежали по разные стороны от прямой $$A_1C_1$$.
Так как $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, то
$$AM=MC,\qquad A_1M_1=M_1C_1.$$
Углы $$\angle AMB$$ и $$\angle CMB_2$$, а также $$\angle A_1M_1B_1$$ и $$\angle C_1M_1B_3$$ — вертикальные, значит, они равны.
Тогда треугольники $$AMB$$ и $$CMB_2$$ равны по первому признаку, откуда
$$CB_2=AB.$$
Аналогично треугольники $$A_1M_1B_1$$ и $$C_1M_1B_3$$ равны по первому признаку, поэтому
$$C_1B_3=A_1B_1.$$
Рассмотрим треугольники $$BCB_2$$ и $$B_1C_1B_3$$. У них
$$BC=B_1C_1,$$
$$CB_2= C_1B_3,$$
$$BB_2=BB_2,\qquad B_1B_3=B_1M_1+M_1B_3=2B_1M_1,$$
то есть соответствующие стороны равны, следовательно, эти треугольники равны. Отсюда
$$\angle B_2BC=\angle B_3B_1C_1.$$
Теперь треугольники $$MBC$$ и $$M_1B_1C_1$$ равны по первому признаку, так как
$$MB=B_1M_1,$$
$$BC=B_1C_1,$$
$$\angle MBC=\angle M_1B_1C_1.$$
Следовательно,
$$MC=M_1C_1.$$
Тогда
$$AC=2MC=2M_1C_1=A_1C_1.$$
Итак, у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны три стороны:
$$AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad AC=A_1C_1.$$
Значит, треугольники равны по третьему признаку.
Ответ
Треугольники равны по третьему признаку.
