Упр.15.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна $$3{,}5\ \text{см}$$, а диагональ боковой грани — $$2{,}5\ \text{см}$$. Найдите объём призмы.

Пусть $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — данная правильная четырёхугольная призма, где $$AC_1=3{,}5\text{ см}$$ и $$C_1D=2{,}5\text{ см}$$.

Так как призма правильная, её основание — квадрат, а боковые грани — прямоугольники.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC_1$$. По теореме Пифагора:

$$AD=\sqrt{AC_1^2-C_1D^2} =\sqrt{3{,}5^2-2{,}5^2} =\sqrt{12{,}25-6{,}25} =\sqrt6\text{ см}.$$

Следовательно, сторона основания квадрата равна $$\sqrt6\text{ см}$$, значит

$$S_{\text{осн}}=AD^2=6\text{ см}^2.$$

Теперь найдём высоту призмы. В прямоугольном треугольнике $$DCC_1$$:

$$CC_1=\sqrt{C_1D^2-DC^2} =\sqrt{2{,}5^2-6} =\sqrt{6{,}25-6} =\sqrt{0{,}25} =0{,}5\text{ см}.$$

Тогда объём призмы равен

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=6\cdot 0{,}5=3\text{ см}^3.$$

Ответ

$$3\text{ см}^3$$