Упр.15.38 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 38. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объём правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 15-38 76

Объём правильной призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$

В правильной призме боковое ребро перпендикулярно основанию, значит высота равна боковому ребру:

$$h=b.$$

Следовательно,

$$V=S_{\text{осн}}\cdot b.$$

Основание правильной призмы — правильный $$n$$-угольник со стороной $$a$$. Его площадь можно найти как сумму площадей $$n$$ равных треугольников с вершиной в центре основания.

Пусть $$O$$ — центр основания, $$AB$$ — одна сторона, $$H$$ — середина $$AB$$. Тогда

$$AH=\frac{a}{2}, \qquad \angle AOH=\frac{180^\circ}{n}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$:

$$\tg \angle AOH=\frac{AH}{OH},$$

откуда

$$OH=\frac{AH}{\tg \angle AOH}=\frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$

Площадь одного треугольника $$AOB$$:

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}=\frac{a^2}{4\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$

Тогда площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=n\cdot S_{AOB}=\frac{na^2}{4\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$

Значит, объём правильной призмы:

$$V=\frac{nba^2}{4\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

1) Правильная треугольная призма, $$n=3$$:

$$V=\frac{3ba^2}{4\tg 60^\circ}=\frac{3ba^2}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2b.$$

2) Правильная четырёхугольная призма, $$n=4$$:

$$V=\frac{4ba^2}{4\tg 45^\circ}=a^2b.$$

3) Правильная шестиугольная призма, $$n=6$$:

$$V=\frac{6ba^2}{4\tg 30^\circ}=\frac{6ba^2}{4\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2b.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2b$$; 2) $$a^2b$$; 3) $$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2b$$.