Упр.9.38 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Две железнодорожные ветки $$m_1$$ и $$m_2$$ пересекаются под острым углом, внутри которого расположены населённые пункты $$A$$ и $$B$$. Как проложить кратчайший путь автобуса по маршруту $$AM_1M_2B$$, где $$M_1$$ находится на ветке $$m_1$$, а $$M_2$$ — на ветке $$m_2$$?

Подробный ответ

Построим точку $$A’$$, симметричную точке $$A$$ относительно прямой $$m_1$$, и точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно прямой $$m_2$$.

Проведём прямую $$A’B’$$. Пусть она пересекает прямую $$m_1$$ в точке $$M_1$$, а прямую $$m_2$$ — в точке $$M_2$$.

Так как $$A’$$ и $$A$$ симметричны относительно $$m_1$$, то $$m_1$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AA’$$. Значит, $$AM_1=A’M_1$$. Аналогично, из симметрии $$B$$ и $$B’$$ относительно $$m_2$$ получаем $$BM_2=B’M_2$$.

Тогда длина маршрута равна

$$AM_1+M_1M_2+M_2B = A’M_1+M_1M_2+M_2B’ = A’B’.$$

Следовательно, кратчайший путь получается тогда, когда точки $$M_1$$ и $$M_2$$ лежат на прямой $$A’B’$$, то есть маршрут нужно проложить по ломаной $$AM_1M_2B$$, где $$M_1=A’B’\cap m_1$$ и $$M_2=A’B’\cap m_2$$.

Ответ

Нужно отразить $$A$$ относительно $$m_1$$ и $$B$$ относительно $$m_2$$, провести прямую $$A’B’$$; точки пересечения этой прямой с $$m_1$$ и $$m_2$$ дадут искомые $$M_1$$ и $$M_2$$.