Упр.8.38 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Чему равны коэффициенты $$a$$ и $$b$$ в уравнении прямой $$ax+by=1$$, если известно, что она проходит через точки $$(1; 2)$$ и $$(2; 1)$$?

Так как точки $$(1;2)$$ и $$(2;1)$$ лежат на прямой $$ax+by=1,$$ их координаты удовлетворяют уравнению прямой.

Получаем систему:

$$\begin{cases} a\cdot 1+b\cdot 2=1,\\ a\cdot 2+b\cdot 1=1. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} a+2b=1,\\ 2a+b=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$a$$:

$$a=1-2b.$$

Подставим во второе уравнение:

$$2(1-2b)+b=1;$$

$$2-4b+b=1;$$

$$-3b=-1,\qquad b=\frac13.$$

Тогда

$$a=1-2\cdot\frac13=\frac13.$$

Ответ: $$a=\frac13,\ b=\frac13.$$