Упр.3.38 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Равные отрезки $$AB$$ и $$CB$$ пересекаются в точке $$O$$ так, что $$AO=OD$$. Докажите равенство треугольников $$ABC$$ и $$BCB$$.

Так как $$AB=CD$$ и $$AO=OD,$$ то

$$AB=AO+OB,\qquad CD=DO+OC.$$

Из равенства $$AB=CD$$ получаем

$$AO+OB=DO+OC.$$

Но $$AO=OD,$$ значит $$OB=OC.$$

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD.$$ У них

$$AO=OD,$$ $$OC=OB,$$ а углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ равны как вертикальные. Следовательно,

$$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$

по второму признаку равенства треугольников. Отсюда

$$AC=BD.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$DCB$$ имеем:

$$AB=CD,$$ $$AC=BD,$$ $$BC$$ — общая сторона.

Значит,

$$\triangle ABC \cong \triangle DCB$$

по третьему признаку равенства треугольников. Что и требовалось доказать.