Упр.10.38 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 10.38 Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Пусть дан параллелограмм $$ABCD$$. Докажем, что

$$AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2.$$

По свойству параллелограмма

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}, \qquad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA},$$

а также

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC},$$

$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}.$$

Возведём эти равенства в квадрат:

$$ AC^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})^2 =AB^2+2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+BC^2, $$

$$ BD^2=(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})^2 =BC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+AB^2. $$

Сложим полученные равенства:

$$ AC^2+BD^2=2AB^2+2BC^2. $$

Так как в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=DA$$, то

$$ 2AB^2+2BC^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2. $$

Следовательно,

$$ AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2. $$

Что и требовалось доказать.