Упр.9.38 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: две железнодорожные ветки m1 и m2 пересекаются под острым
углом, внутри которого расположены населенные пункты A и B;
Найти: кратчайший маршрут AM1 M2 B, где M1 находится на ветке m1, а
M2-на ветке m2;
Решение:
1) Построим точку A’ симметричную точке A относительно прямой m1
и точку B’, симметричную точке B относительно прямой m2;
2) На пересечении прямой A’ B’ с прямой m1 отметим точку M1, а на
пересечении с прямой m2-точку M2;
3) Треугольники A’ AM1 и B’ BM2 являются равнобедренными, так как у
них высоты являются медианами, отсюда: AM1=A’ M1 и BM2=B’ M2;
4) AM1+M1 M2+M2 B=A’ M1+M1 M2+M2 B’=A’ B’;
5) Расстояние A’ B’ минимально, так как в этом случае все точки
последовательно располагаются на одной прямой;
6) Таким образом, расположение точек M1 и M2 удовлетворяет условию
задачи;

Построим точку $$A’$$, симметричную точке $$A$$ относительно прямой $$m_1$$, и точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно прямой $$m_2$$.

Проведём прямую $$A’B’$$. Пусть она пересекает прямую $$m_1$$ в точке $$M_1$$, а прямую $$m_2$$ — в точке $$M_2$$.

Так как $$A’$$ — отражение точки $$A$$ относительно $$m_1$$, то прямая $$m_1$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AA’$$. Следовательно, $$AM_1=A’M_1$$. Аналогично, $$BM_2=B’M_2$$.

Тогда длина маршрута равна

$$ AM_1+M_1M_2+M_2B = A’M_1+M_1M_2+M_2B’ = A’B’. $$

Значит, длина маршрута $$AM_1M_2B$$ минимальна тогда и только тогда, когда точки $$A’$$, $$M_1$$, $$M_2$$, $$B’$$ лежат на одной прямой, то есть когда маршрут проходит по прямой $$A’B’$$ после отражений.

Следовательно, кратчайший путь строится так: отразить $$A$$ относительно $$m_1$$, отразить $$B$$ относительно $$m_2$$, соединить полученные точки прямой и взять точки её пересечения с $$m_1$$ и $$m_2$$.

Ответ

Кратчайший маршрут получается, если построить точки $$A’$$ и $$B’$$, симметричные $$A$$ и $$B$$ относительно прямых $$m_1$$ и $$m_2$$, провести прямую $$A’B’$$ и взять $$M_1=A’B’\cap m_1$$, $$M_2=A’B’\cap m_2$$.