Упр.15.38 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
По стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите объём правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.
Объём правильной призмы равен произведению площади основания на высоту:
$$V=S_{\text{осн}}\cdot b,$$
где $$b$$ — боковое ребро, а значит, и высота правильной призмы.
Основание правильной $$n$$-угольной призмы — правильный $$n$$-угольник со стороной $$a$$. Разобьём его на $$n$$ равных треугольников, проведя радиусы из центра основания.
Для одного такого треугольника:
$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n},$$
а если опустить высоту $$OH$$, то
$$AH=\frac{a}{2}, \qquad \angle AOH=\frac{180^\circ}{n}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AOH$$:
$$\tg \angle AOH=\frac{AH}{OH},$$
откуда
$$OH=\frac{AH}{\tg \angle AOH}=\frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$
Тогда площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=n\cdot S_{AOB} =n\cdot \frac{1}{2}\cdot AB\cdot OH =n\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}} =\frac{na^2}{4\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$
Следовательно,
$$V=\frac{nba^2}{4\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
Для правильной треугольной призмы $$\left(n=3\right)$$:
$$V=\frac{3ba^2}{4\tg 60^\circ} =\frac{3ba^2}{4\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{4}a^2b.$$
Для правильной четырёхугольной призмы $$\left(n=4\right)$$:
$$V=\frac{4ba^2}{4\tg 45^\circ} =a^2b.$$
Для правильной шестиугольной призмы $$\left(n=6\right)$$:
$$V=\frac{6ba^2}{4\tg 30^\circ} =\frac{6ba^2}{4\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2b.$$
Ответ: 1) $$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2b$$; 2) $$a^2b$$; 3) $$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2b$$.
