Упр.10.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что если $$\mathbf{a}$$ и $$\mathbf{b}$$ — единичные неколлинеарные векторы, то векторы $$\mathbf{a}+\mathbf{b}$$ и $$\mathbf{a}-\mathbf{b}$$ отличны от нуля и перпендикулярны.

Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — единичные неколлинеарные векторы. Тогда $$|\vec a|=|\vec b|=1$$.

Найдём скалярное произведение векторов $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$:

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b) = \vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b = |\vec a|^2-|\vec b|^2.$$

Так как $$|\vec a|=|\vec b|=1$$, то

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=1-1=0.$$

Следовательно, векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ перпендикулярны.

Осталось показать, что они отличны от нуля. Если бы $$\vec a+\vec b=\vec 0$$, то $$\vec a=-\vec b$$, а значит, векторы коллинеарны, что противоречит условию. Аналогично, из $$\vec a-\vec b=\vec 0$$ следовало бы $$\vec a=\vec b$$, то есть снова коллинеарность. Значит, оба вектора ненулевые.

Итак, $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ отличны от нуля и перпендикулярны.