Упр.4.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного
треугольника параллельна основанию;
Доказательство:
1) Пусть в треугольнике ABC биссектриса внешнего угла при вершине C
лежит на прямой CD;
2) угол A = углу B (как углы при основании равнобедренного треугольника);
3) Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов:
угол B’ = углу A+ угол C и угол C’ = углу A+ угол B;
4) угол DCA=1/2 угол C’ (так как CD-биссектриса угол C’);
5) угол DCB = углу DCA+ угол C=1/2 угол C’+ угол C=1/2 (угол A+ угол B)+ угол C = углу A+ угол C;
6) Рассмотрим прямые DC и AB и секущую CB:
Так как накрест лежащие углы угол DCB и угол B’ равны, то данные прямые
параллельны, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AB$$ биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$ лежит на прямой $$CD$$.

Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны:

$$\angle A=\angle B.$$

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних несмежных углов, поэтому

$$\angle C’=\angle A+\angle B.$$

Поскольку $$CD$$ — биссектриса угла $$C’$$, имеем

$$\angle DCA=\frac{1}{2}\angle C’.$$

Тогда

$$ \angle DCB=\angle DCA+\angle ACB =\frac{1}{2}\angle C’+\angle C =\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)+\angle C. $$

С учётом $$\angle A=\angle B$$ получаем

$$\angle DCB=\angle A+\angle C.$$