Упр.10.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 37. Докажите, что если а и b— единичные неколлинеарные векторы, то векторы а + b и а — b отличны от нуля и перпендикулярны.

Подробный ответ

Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — единичные неколлинеарные векторы. Тогда $$|\vec a|=|\vec b|=1$$.

Найдём скалярное произведение суммы и разности:

$$ (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b) = \vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b. $$

Так как скалярное произведение коммутативно, то $$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$$, значит

$$ (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b) = |\vec a|^2-|\vec b|^2 = 1-1=0. $$

Следовательно, векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ перпендикулярны.

Осталось показать, что они отличны от нуля. Если бы $$\vec a+\vec b=\vec 0$$, то $$\vec a=-\vec b$$, то есть векторы коллинеарны, что противоречит условию. Аналогично, если бы $$\vec a-\vec b=\vec 0$$, то $$\vec a=\vec b$$, и снова векторы были бы коллинеарны. Значит, оба вектора ненулевые.

Итак, $$\vec a+\vec b\neq \vec 0$$, $$\vec a-\vec b\neq \vec 0$$ и

$$ (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=0, $$

то есть эти векторы перпендикулярны.