Упр.4.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AB$$ биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$ лежит на прямой $$CD$$.

Так как треугольник равнобедренный, то $$\angle A=\angle B$$.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних несмежных углов, поэтому

$$\angle C’=\angle A+\angle B,$$

где $$\angle C’$$ — внешний угол при вершине $$C$$.

Поскольку $$CD$$ — биссектриса угла $$C’$$, имеем

$$\angle DCA=\frac12\angle C’.$$

Тогда

$$\angle DCB=\angle DCA+\angle ACB =\frac12\angle C’+\angle C =\frac12(\angle A+\angle B)+\angle C.$$

Так как $$\angle A=\angle B$$, получаем

$$\angle DCB=\angle A+\angle C.$$

Но $$\angle A+\angle C$$ — это угол, равный углу между прямой $$AB$$ и секущей $$CB$$. Следовательно, накрест лежащие углы при прямых $$CD$$ и $$AB$$ равны, значит,

$$CD\parallel AB.$$

Ответ: биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.