Упр.15.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого $$1\ \text{м}^2$$. Площади диагональных сечений $$3\ \text{м}^2$$ и $$6\ \text{м}^2$$. Найдите объём параллелепипеда.

Обозначим прямой параллелепипед через $$ABCDA_1B_1C_1D_1.$$ Пусть $$AC=d_1,$$ $$BD=d_2,$$ $$AA_1=BB_1=h.$$

Так как основание $$ABCD$$ — ромб, то его площадь равна

$$S_{\text{осн}}=\frac12 AC\cdot BD=\frac12 d_1d_2=1.$$

Диагональные сечения $$ACC_1A_1$$ и $$BDD_1B_1$$ являются прямоугольниками, поэтому

$$S_{ACC_1A_1}=AC\cdot AA_1=d_1h=3,$$

$$S_{BDD_1B_1}=BD\cdot BB_1=d_2h=6.$$

Перемножим эти равенства:

$$d_1h\cdot d_2h=3\cdot 6,$$

то есть

$$d_1d_2h^2=18.$$

Но $$d_1d_2=2S_{\text{осн}}=2,$$ значит

$$2h^2=18,$$

откуда

$$h^2=9,\qquad h=3\text{ м}.$$

Теперь найдём объём параллелепипеда:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=1\cdot 3=3\text{ м}^3.$$

Ответ: $$3\text{ м}^3.$$