Упр.14.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

2) Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АВО и CDO равновеликие.
Доказать: диагонали параллелограмма разбивают его на четыре
равновеликих треугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм и O-точка пересечения
его диагоналей;
2) По свойству параллелограмма:
AB=CD, AD=BC, AO=OC и BO=OD=1/2 BD;
3) треугольник AOB = треугольник COD по третьему признаку, значит: SAOB=SCOD;
4) треугольник AOD = треугольник COB по третьему признаку, значит: SAOD=SCOB;
5) Опустим перпендикуляр AH на диагональ BD;
6) Рассмотрим треугольники AOB и AOD:
SAOB=1/2 BO•OH=1/4 BD•OH и SAOD=1/2 DO•OH=1/4 BD•OH;
Следовательно: SAOB=SAOD;
9) Получаем SAOB=SCOD=SCOB=SAOD, что и требовалось доказать.
II) Отобразим условие задачи:
Дано: диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются
в точке O;
Доказать: треугольники AOB и COD равновеликие;
Доказательство:
1) Из вершин B и C трапеции опустим высоты BB1 и CC1 на сторону AD,
они равны как расстояния между параллельными прямыми BC и AD:
BB1=CC1=h;
2) Рассмотрим треугольники ABD и DCA:
SABD=1/2 AD•BB1=1/2 AD•h и SDCA=1/2 AD•CC1=1/2 AD•h;
Следовательно: SABD=SDCA;
3) Треугольник ABD состоит из треугольника ABO и треугольника AOD, а треугольник DCA
состоит из треугольника COD и треугольника AOD, значит:
SABD=SAOB+SAOD и SACD=SCOD+SAOD;
Отсюда следует, что SAOB=SCOD, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

1) Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

По свойствам параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. У них

$$AB=CD,\qquad AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по трём сторонам, поэтому

$$S_{AOB}=S_{COD}.$$

Аналогично, для треугольников $$AOD$$ и $$COB$$ имеем

$$AD=BC,\qquad AO=OC,\qquad OD=OB,$$

значит, $$\triangle AOD \cong \triangle COB$$, откуда

$$S_{AOD}=S_{COB}.$$

Остаётся заметить, что диагональ $$BD$$ является общей для треугольников $$AOB$$ и $$AOD$$. Если опустить из точки $$A$$ перпендикуляр $$AH$$ на прямую $$BD$$, то

$$S_{AOB}=\frac12\cdot BO\cdot AH,\qquad S_{AOD}=\frac12\cdot OD\cdot AH.$$

Так как $$BO=OD$$, то

$$S_{AOB}=S_{AOD}.$$

Итак,

$$S_{AOB}=S_{AOD}=S_{COD}=S_{COB},$$

то есть диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника.

2) Пусть диагонали трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$BC$$ и $$AD$$ пересекаются в точке $$O$$.

Из точек $$B$$ и $$C$$ опустим перпендикуляры $$BB_1$$ и $$CC_1$$ на прямую $$AD$$. Так как $$BC \parallel AD$$, то расстояния между параллельными прямыми равны, значит

$$BB_1=CC_1=h.$$

Тогда площади треугольников $$ABD$$ и $$DCA$$ равны:

$$S_{ABD}=\frac12\cdot AD\cdot BB_1=\frac12\cdot AD\cdot h,$$

$$S_{DCA}=\frac12\cdot AD\cdot CC_1=\frac12\cdot AD\cdot h.$$

Следовательно,

$$S_{ABD}=S_{DCA}.$$

С другой стороны, треугольник $$ABD$$ состоит из треугольников $$AOB$$ и $$AOD$$, а треугольник $$DCA$$ — из треугольников $$COD$$ и $$AOD$$. Поэтому

$$S_{ABD}=S_{AOB}+S_{AOD},$$

$$S_{DCA}=S_{COD}+S_{AOD}.$$

Так как $$S_{ABD}=S_{DCA}$$, получаем

$$S_{AOB}+S_{AOD}=S_{COD}+S_{AOD},$$

откуда