Упр.13.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 36. Радиусы вписанной и описанной окружностей одного правильного n-угольника равны r1 и R1, а радиус вписанной окружности другого правильного n-угольника равен r2. Чему равен радиус описанной окружности другого n-угольника? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 13-36 76

Подробный ответ

Пусть стороны данных правильных $$n$$-угольников равны соответственно $$a_1$$ и $$a_2$$. Тогда по свойству подобных правильных многоугольников

$$\frac{a_1}{a_2}=k.$$

Для радиусов вписанных окружностей имеем:

$$r_1=\frac{a_1}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}, \qquad r_2=\frac{a_2}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$

Следовательно,

$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{a_1}{a_2}=k.$$

Для радиусов описанных окружностей:

$$R_1=\frac{a_1}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}, \qquad R_2=\frac{a_2}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Значит,

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{a_1}{a_2}=k.$$

Отсюда