Упр.6.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, у которого

$$AB=BC=CD=DA.$$

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. Они равнобедренные, так как

$$AB=BC,\qquad AD=DC.$$

Пусть $$O$$ — середина диагонали $$AC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BO$$ является и высотой, и медианой, значит

$$BO\perp AC,\qquad AO=OC.$$

Аналогично в равнобедренном треугольнике $$ADC$$ отрезок, проведённый из вершины $$D$$ к середине $$AC$$, тоже является высотой и медианой. Следовательно, та же точка $$O$$ является серединой $$AC$$ и для этого треугольника.

Значит, прямая $$BD$$ проходит через середину диагонали $$AC$$ и перпендикулярна ей. Кроме того, в треугольнике $$BCD$$ имеем

$$BC=CD,$$

поэтому высота из вершины $$C$$ к основанию $$BD$$ является также медианой. Следовательно, диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся пополам.

А значит, $$ABCD$$ — параллелограмм. Но у него все стороны равны, следовательно, это ромб.

Ответ: четырёхугольник с равными сторонами является ромбом.