Упр.3.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что в задаче 35 прямые $$AB$$ и $$CD$$ перпендикулярны.

Треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ равны, значит

$$AC=BD,\quad BC=AD,\quad \angle BAC=\angle ABD.$$

Рассмотрим треугольники $$CBD$$ и $$DAC$$. У них

$$CD$$ — общая сторона, $$BD=AC$$, $$BC=AD$$.

Следовательно, $$\triangle CBD \cong \triangle DAC$$ по третьему признаку, откуда

$$\angle BDC=\angle ACD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$DBO$$. Имеем

$$AC=BD,$$

$$\angle ACO=\angle BDO,$$

$$\angle AOC=\angle BOD$$

как вертикальные. Значит, $$\triangle ACO \cong \triangle DBO$$ по второму признаку, поэтому

$$AO=BO.$$

Что и требовалось доказать.