Упр.3.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказательство:
1) Треугольники ABC и ABD равны по третьему
признаку (CD-общая сторона), так как эти
треугольники равнобедренные, то все углы при
основании равны: угол ABC = углу BAC = углу BAD = углу ABD;
2) угол CAB = углу BAD, следовательно луч AB является
биссектрисой угла CAD;
3) треугольник CAD-равнобедренный, значит AO-его высота
(теорема 3.5), значит AO перпендикулярен CD;
4) Так как отрезки AO и CD принадлежат прямым
AB и CD, то эти прямые также перпендикулярны,
что и требовалось доказать.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$. По условию $$AC=CB=BD=AD$$, значит оба треугольника равнобедренные.

Тогда в треугольнике $$ABC$$ имеем $$\angle ABC=\angle BAC$$, а в треугольнике $$ABD$$ — $$\angle BAD=\angle ABD$$. Кроме того, треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ равны по третьему признаку, поэтому соответствующие углы равны, и, в частности, $$\angle BAC=\angle BAD$$.

Следовательно, луч $$AB$$ является биссектрисой угла $$CAD$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$CAD$$. Он равнобедренный, так как $$AC=AD$$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является высотой. Значит, $$AB\perp CD$$.

Ответ

$$AB\perp CD$$.