Упр.4.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$CD$$. Какая из трёх точек $$A$$, $$B$$, $$D$$ лежит между двумя другими, если угол $$A$$ тупой? Обоснуйте ответ.

Так как $$CD$$ — высота треугольника $$ABC$$, то $$CD \perp AB$$, значит $$\angle CDB=90^\circ$$ и $$\angle CDA=90^\circ$$.

Поскольку $$\angle A$$ — тупой, то углы $$B$$ и $$C$$ острые.

Проверим, какая из точек $$A, B, D$$ может лежать между двумя другими.

Точка $$B$$ не может лежать между $$A$$ и $$D$$: тогда луч $$BC$$ был бы продолжением одной из сторон угла при $$B$$, и угол $$CBD$$ оказался бы внешним углом острого угла $$B$$, то есть тупым. Но $$\angle CBD=90^\circ$$, что невозможно.

Точка $$D$$ не может лежать между $$A$$ и $$B$$: тогда точки $$A, D, B$$ лежали бы на одной прямой, а в треугольнике $$CDA$$ был бы прямой угол при $$D$$ и тупой угол при $$A$$. Это невозможно, так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, а при таком расположении точек получалось бы противоречие с остальными углами.

Следовательно, между двумя другими точками лежит точка $$A$$.

Ответ: точка $$A$$.