Упр.15.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В прямом параллелепипеде стороны основания $$2\sqrt{2}$$ см и $$5$$ см образуют угол $$45^\circ$$. Меньшая диагональ параллелепипеда равна $$7$$ см. Найдите его объём.

Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — данный прямой параллелепипед, где $$AB=2\sqrt2$$ см, $$AD=5$$ см, $$\angle BAD=45^\circ$$, а меньшая диагональ параллелепипеда $$B_1D=7$$ см.

Найдём площадь основания $$ABCD$$. Так как основание — параллелограмм, то

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD$$
$$S_{ABCD}=2\sqrt2\cdot 5\cdot \frac{\sqrt2}{2}=10\ \text{см}^2.$$

Теперь найдём диагональ основания $$BD$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABD$$:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos\angle BAD$$
$$BD^2=(2\sqrt2)^2+5^2-2\cdot 2\sqrt2\cdot 5\cdot \frac{\sqrt2}{2}=8+25-20=13.$$

Значит, $$BD=\sqrt{13}$$.

Так как параллелепипед прямой, то высота $$h$$ равна ребру $$BB_1$$. В прямоугольном треугольнике $$DBB_1$$:

$$B_1D^2=BD^2+h^2$$
$$h=\sqrt{B_1D^2-BD^2}=\sqrt{7^2-13}=\sqrt{49-13}=\sqrt{36}=6\ \text{см}.$$

Тогда объём параллелепипеда:

$$V=S_{ABCD}\cdot h=10\cdot 6=60\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$60\ \text{см}^3$$.