Упр.9.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Четыре населённых пункта расположены в вершинах параллелограмма. В каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний от неё до всех четырёх данных пунктов была наименьшей?

Обозначим вершины параллелограмма через $$A, B, C, D$$, а точку пересечения его диагоналей — через $$O$$.

Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO+OC=AC,\qquad BO+OD=BD.$$

Следовательно,

$$AO+BO+CO+DO=AC+BD.$$

Возьмём произвольную точку $$X$$, не совпадающую с $$O$$. Тогда по неравенству треугольника для треугольников $$ACX$$ и $$BDX$$ имеем:

$$XA+XC>AC,$$

$$XB+XD>BD.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$XA+XB+XC+XD>AC+BD.$$

Но для точки $$O$$ сумма расстояний равна

$$OA+OB+OC+OD=AC+BD.$$

Значит, наименьшая сумма расстояний от фабрики до всех четырёх населённых пунктов будет тогда, когда фабрика расположена в точке $$O$$ — центре параллелограмма, то есть в точке пересечения его диагоналей.

Ответ: в центре параллелограмма, в точке пересечения диагоналей.