Упр.14.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

1) 5,5,6;
2) 17,65,80;
наибольшую высоту треугольника со сторонами:
3) 25/6,29/6,6; 1?
4) 13,37*12/13,47*1/13.
Как было доказано в задаче 14.20, стороны треугольника обратно
пропорциональны его высотам, то есть к наибольшей стороне проведена
наименьшая высота, а к наименьшей стороне проведена наибольшая
высота;
Для нахождения площади треугольника по трем сторонам a, b и c
воспользуемся формулой Герона:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p=(a+b+c)/2-полупериметр;

Подробный ответ

Высота треугольника обратно пропорциональна соответствующей стороне: к наибольшей стороне проведена наименьшая высота, а к наименьшей стороне — наибольшая.

Площадь треугольника найдём по формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

1) $$a=5,\; b=5,\; c=6.$$

Наименьшая высота проведена к наибольшей стороне $$c=6.$$

$$p=\frac{5+5+6}{2}=8,$$
$$S=\sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{144}=12.$$

$$S=\frac12 ch_c,$$
откуда
$$h_c=\frac{2S}{c}=\frac{2\cdot 12}{6}=4.$$

2) $$a=17,\; b=65,\; c=80.$$

Наименьшая высота проведена к наибольшей стороне $$c=80.$$

$$p=\frac{17+65+80}{2}=81,$$
$$S=\sqrt{81(81-17)(81-65)(81-80)}=\sqrt{81\cdot 64\cdot 16\cdot 1}=9\cdot 8\cdot 4=288.$$

$$h_c=\frac{2S}{c}=\frac{2\cdot 288}{80}=\frac{576}{80}=7{,}2.$$

3) $$a=\frac{25}{6},\; b=\frac{29}{6},\; c=6.$$

Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне $$a=\frac{25}{6}.$$

$$p=\frac{1}{2}\left(\frac{25}{6}+\frac{29}{6}+6\right)=\frac{45}{6},$$
$$S=\sqrt{\frac{45}{6}\left(\frac{45}{6}-\frac{25}{6}\right)\left(\frac{45}{6}-\frac{29}{6}\right)\left(\frac{45}{6}-\frac{36}{6}\right)}$$
$$=\sqrt{\frac{45}{6}\cdot \frac{20}{6}\cdot \frac{16}{6}\cdot \frac{9}{6}}=10.$$

$$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot 10}{25/6}=20\cdot \frac{6}{25}=\frac{120}{25}=4{,}8.$$

4) $$a=13,\; b=37\frac{12}{13},\; c=47\frac{1}{13}.$$

Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне $$a=13.$$

$$b=\frac{37\cdot 13+12}{13}=\frac{493}{13}, \qquad c=\frac{47\cdot 13+1}{13}=\frac{612}{13},$$
$$p=\frac{1}{2}\left(13+\frac{493}{13}+\frac{612}{13}\right)=49.$$

$$S=\sqrt{49(49-13)\left(49-\frac{493}{13}\right)\left(49-\frac{612}{13}\right)}$$
$$=\sqrt{49\cdot 36\cdot \frac{14}{13}\cdot \frac{25}{13}}=\frac{2520}{13}.$$

$$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot \frac{2520}{13}}{13}=\frac{5040}{169}=29\frac{139}{169}.$$