Упр.6.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как $$4:5$$. Найдите углы ромба.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Тогда диагонали ромба делят его углы пополам, значит

$$\angle OAB : \angle ABO = 4:5.$$

Обозначим $$\angle OAB=4x$$, $$\angle ABO=5x$$. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то треугольник $$AOB$$ прямоугольный, и

$$\angle OAB+\angle ABO=90^\circ.$$

Тогда

$$4x+5x=90^\circ,$$

$$9x=90^\circ,$$

$$x=10^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle OAB=40^\circ,\qquad \angle ABO=50^\circ.$$

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, получаем:

$$\angle A=2\angle OAB=80^\circ,$$

$$\angle B=2\angle ABO=100^\circ.$$

Противоположные углы ромба равны, значит

$$\angle C=80^\circ,\qquad \angle D=100^\circ.$$

Ответ: $$80^\circ,\ 100^\circ,\ 80^\circ,\ 100^\circ.$$