Упр.3.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

3-35. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются. Докажите, что если отрезки $$AC$$, $$CB$$, $$BD$$ и $$AD$$ равны, то луч $$AB$$ является биссектрисой угла $$CAD$$ и луч $$CD$$ — биссектрисой угла $$ACB$$ (рис. 66).

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$. По условию $$AC=CB$$ и $$AD=BD$$, а сторона $$AB$$ у них общая. Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle ABD$$ по третьему признаку равенства треугольников.

Отсюда соответствующие углы равны:

$$\angle CAB=\angle BAD.$$

Следовательно, луч $$AB$$ делит угол $$CAD$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$CAD$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$ACB$$ и $$DCB$$. Имеем $$AC=CB$$ и $$AD=BD$$, поэтому точки $$C$$ и $$D$$ равноудалены от точек $$A$$ и $$B$$. Значит, прямая $$CD$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$, то есть

$$CD\perp AB.$$

Но луч $$AB$$ уже является биссектрисой угла $$CAD$$, а в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, является также высотой. Следовательно, $$AB\perp CD$$, что и требовалось доказать.