Упр.3.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказательство:
1) Треугольники ABC и ABD равны по третьему
признаку (CD-общая сторона), так как эти
треугольники равнобедренные, то все углы при
основании равны: угол ABC = углу BAC = углу BAD = углу ABD;
2) угол CAB = углу BAD, следовательно луч AB является
биссектрисой угла CAD;
3) треугольник CAD-равнобедренный, значит AO-его высота
(теорема 3.5), значит AB перпендикулярен CD, тогда CO-высота
треугольника ACB;
4) Так как треугольник ACB-равнобедренный, то CO-его
биссектриса, значит луч CD является биссектрисой
угла ACB, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$. По условию $$AC=CB$$ и $$AD=BD$$, а сторона $$AB$$ у них общая. Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle ABD$$ по третьему признаку равенства треугольников.

Отсюда соответствующие углы равны:

$$\angle CAB=\angle BAD.$$

Следовательно, луч $$AB$$ является биссектрисой угла $$CAD$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. Так как $$AC=AD$$, то $$\triangle ACD$$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также высотой. Значит, луч $$AB$$, являясь биссектрисой угла $$CAD$$, перпендикулярен $$CD$$:

$$AB \perp CD.$$

Аналогично, из равенств $$AC=CB$$ и $$AD=BD$$ следует, что треугольники $$ACD$$ и $$BCD$$ равны, а значит

$$\angle ACD=\angle DCB.$$

Следовательно, луч $$CD$$ является биссектрисой угла $$ACB$$.