Упр.15.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Измерения прямоугольного бруска — $$3\text{ см}$$, $$4\text{ см}$$, $$5\text{ см}$$. Если увеличить каждое ребро на $$x$$ сантиметров, то поверхность увеличится на $$54\text{ см}^2$$. Как увеличится объём?
Пусть размеры прямоугольного бруска до увеличения равны $$3\text{ см},\ 4\text{ см},\ 5\text{ см}.$$ Тогда его поверхность
$$S_1=2(3\cdot 4+4\cdot 5+3\cdot 5)=2(12+20+15)=94\text{ см}^2.$$
После увеличения каждого ребра на $$x$$ см получим размеры $$3+x,\ 4+x,\ 5+x.$$ По условию поверхность увеличилась на $$54\text{ см}^2,$$ значит
$$S_2=94+54=148\text{ см}^2.$$
С другой стороны,
$$S_2=2\big((3+x)(4+x)+(4+x)(5+x)+(3+x)(5+x)\big).$$
Раскроем скобки:
$$S_2=2\big((12+7x+x^2)+(20+9x+x^2)+(15+8x+x^2)\big)$$
$$S_2=2(47+24x+3x^2)=94+48x+6x^2.$$
Приравниваем к $$148$$:
$$94+48x+6x^2=148,$$
$$6x^2+48x-54=0,$$
$$x^2+8x-9=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=8^2-4\cdot 1\cdot(-9)=64+36=100,$$
$$x=\frac{-8\pm 10}{2}.$$
Получаем $$x_1=1,$$ $$x_2=-9.$$ Так как ребра увеличивали, то $$x=1.$$
Тогда новые размеры бруска: $$4\text{ см},\ 5\text{ см},\ 6\text{ см}.$$
Найдём отношение объёмов:
$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{4\cdot 5\cdot 6}{3\cdot 4\cdot 5}=\frac{6}{3}=2.$$
Ответ: объём увеличится в $$2$$ раза.
