Упр.9.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: четыре населенных пункта расположены в вершинах
параллелограмма;
Найти: в каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний
от нее до всех данных пунктов была наименьшей;
Решение:
1) Обозначим данные населенные пункты через вершины A, B, C и D
параллелограмма ABCD;
2) Отметим точку O-середину параллелограмма ABCD, то есть центр
его симметрии;
3) Согласно задаче 9.8 точка O является точкой пересечения диагоналей;
4) AO+OC=AC и BO+OD=BD, тогда AO+OC+BO+OD=AC+BD;
5) Возьмем произвольную точку X, не совпадающую с точкой O;
6) По неравенству треугольника для треугольник ACX: XA+XC > AC;
7) По неравенству треугольника для треугольник BDX: XB+XD > BD;
8) Если точка X лежит на одной из диагоналей, то неравенство будет
выполняться только для одного и зтих треугольников, однако в
любом случае: XA+XB+XC+XD > AC+BD;
9) Таким образом, сумма расстояний от вершин ABCD до точки X
больше, чем до точки O, следовательно точка O-искомая;
Ответ: в центре параллелограмма.

Подробный ответ

Обозначим вершины параллелограмма через $$A, B, C, D$$, а точку пересечения его диагоналей — через $$O$$. Эта точка является центром симметрии параллелограмма.

Тогда

$$AO+OC=AC,\qquad BO+OD=BD,$$

следовательно,

$$AO+BO+CO+DO=AC+BD.$$

Возьмём произвольную точку $$X$$, не совпадающую с $$O$$. По неравенству треугольника для треугольников $$ACX$$ и $$BDX$$ имеем:

$$XA+XC>AC,$$

$$XB+XD>BD.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$XA+XB+XC+XD>AC+BD.$$

Значит, сумма расстояний от любой точки $$X\neq O$$ до всех четырёх вершин параллелограмма больше, чем сумма расстояний от точки $$O$$. Следовательно, наименьшая сумма расстояний получается в точке $$O$$ — центре параллелограмма, то есть в точке пересечения его диагоналей.