Упр.13.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите расстояние между сторонами ромба, диагонали которого равны $$d_1$$ и $$d_2$$.
Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, $$AC=d_1$$, $$BD=d_2$$. Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$.
Тогда по свойствам ромба диагонали делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны друг другу:
$$AO=OC=\frac{d_1}{2}, \qquad BO=OD=\frac{d_2}{2}, \qquad AC \perp BD.$$
Опустим перпендикуляры $$OE \perp AB$$ и $$OF \perp CD$$. Так как $$AB \parallel CD$$, точки $$E, O, F$$ лежат на одной прямой, поэтому искомое расстояние между сторонами ромба равно $$EF$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AEO$$ и $$AOD$$. У них общий угол при $$A$$, а также
$$\angle AEO=\angle ADO=90^\circ.$$
Значит, треугольники $$AEO$$ и $$AOD$$ подобны, откуда
$$\frac{OE}{AO}=\frac{AO}{AD}, \qquad OE=\frac{AO^2}{AD}.$$
Найдём $$AD$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$AOD$$:
$$AD=\sqrt{AO^2+OD^2} =\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2} =\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}.$$
Тогда
$$OE=\frac{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2}{\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}} =\frac{d_1^2}{2\sqrt{d_1^2+d_2^2}}.$$
Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников $$COF$$ и $$COD$$ получаем $$OF=OE$$. Следовательно,
$$EF=OE+OF=2OE=\frac{d_1^2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}.$$
Ответ: $$\frac{d_1^2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}$$.
