Упр.6.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 35. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4:5. Найдите углы ромба. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 pogorelov7-9 6-35 76

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб. Диагонали ромба делят его углы пополам, а также перпендикулярны друг другу.

Обозначим углы, образованные диагональю с одной из сторон, как $$4x$$ и $$5x$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AOB$$, где $$O$$ — точка пересечения диагоналей, имеем:

$$\angle OAB+\angle ABO=90^\circ$$

$$4x+5x=90^\circ$$

$$9x=90^\circ$$

$$x=10^\circ$$

Следовательно,

$$\angle OAB=4\cdot 10^\circ=40^\circ,$$

$$\angle ABO=5\cdot 10^\circ=50^\circ.$$

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то:

$$\angle A=2\angle OAB=2\cdot 40^\circ=80^\circ,$$

$$\angle B=2\angle ABO=2\cdot 50^\circ=100^\circ.$$

Противоположные углы ромба равны, значит:

$$\angle C=\angle A=80^\circ,\qquad \angle D=\angle B=100^\circ.$$