Упр.14.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 34. Найдите высоту треугольника со сторонами 2*1/12,3*44/75,1,83, проведённую к стороне 2у*1/12.

Подробный ответ

Обозначим стороны треугольника через $$a=2\frac{1}{12}\text{ см},\quad b=3\frac{44}{75}\text{ см},\quad c=1{,}83\text{ см}.$$ Найдём высоту, опущенную на сторону $$a.$$

Приведём длины сторон к дробям с общим знаменателем:

$$ a=2\frac{1}{12}=\frac{25}{12}=\frac{625}{300},\quad b=3\frac{44}{75}=\frac{269}{75}=\frac{1076}{300},\quad c=1{,}83=\frac{183}{100}=\frac{549}{300}. $$

Полупериметр треугольника:

$$ p=\frac{a+b+c}{2} =\frac{1}{2}\left(\frac{625}{300}+\frac{1076}{300}+\frac{549}{300}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{2250}{300} =\frac{375}{100}. $$

По формуле Герона находим площадь:

$$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. $$

$$ S=\sqrt{\frac{375}{100}\left(\frac{1125}{300}-\frac{625}{300}\right)\left(\frac{1125}{300}-\frac{1076}{300}\right)\left(\frac{375}{100}-\frac{183}{100}\right)}. $$

$$ S=\sqrt{\frac{375}{100}\cdot\frac{500}{300}\cdot\frac{49}{300}\cdot\frac{192}{100}} =\sqrt{\frac{14}{10}\cdot\frac{1}{10}} =1{,}4. $$

Теперь используем формулу площади через основание и высоту:

$$ S=\frac{1}{2}ah_a. $$

Тогда

$$ h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot 1{,}4}{\frac{25}{12}}=\frac{33{,}6}{25}=1{,}344. $$