Упр.13.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: около окружности радиуса r описана равнобокая трапеция с
основаниями 2a и 2b;
Доказать: r^2=ab;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция, с основаниями:
AD=2a и BC=2b;
2) По свойству описанного четырехугольника:
AD+BC=AB+CD = > 2a+2b=2AB, отсюда AB=a+b;
3) По свойству равнобокой трапеции: угол A = углу D;
4) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую AB:
угол B=180°- угол A (как внутренние односторонние углы);
5) Пусть угол A = углу D=альфа, тогда угол B=180°-альфа;
6) Отметим точку O-центр вписанной в трапецию ABCD окружности,
так как центр окружности равноудален от всех сторон описанного
четырехугольника, то точка O лежит на пересечении биссектрис данной
трапеции, тогда: угол ODA = углу OAD=1/2 угол A=альфа/2 и угол ABO=1/2 угол B=90°-альфа/2;
7) Опустим перпендикуляр OE на сторону AB и перпендикуляр OH на
сторону AD, тогда: OE=OH=r;
8) Прямоугольные треугольники OAH и ODH равны по катету и проти-
волежащему острому углу (OH-общий катет и угол ODH = углу OAH), отсюда:
AH=HD=AD/2=2a/2=a;
9) AE=AH=a (как отрезки касательных, проведенных из одной точки);
10) BE=AB-AE=a+b-a=b;
11) Рассмотрим треугольник BOA:
угол AOB=180°- угол BAO- угол ABO=180°-альфа/2-90°+альфа/2=90°;
12) В прямоугольном треугольнике BOA отрезок OE является высотой,
опущенной на гипотенузу, значит согласно доказанному в контрольном
вопросе 11 параграфа 11 он является средним пропорциональным между
проекциями катетов OA и OB на гипотенузу AB:
OE=v(AE•BE);
r=v(a•b) = > r^2=ab, что и требовлось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция, описанная около окружности радиуса $$r$$, причём $$AD=2a$$ и $$BC=2b$$.

По свойству описанного четырёхугольника сумма длин противоположных сторон равна:

$$AD+BC=AB+CD.$$

Так как трапеция равнобокая, то $$AB=CD$$, значит

$$2a+2b=2AB,$$

откуда

$$AB=a+b.$$

Обозначим через $$O$$ центр вписанной окружности. Тогда $$O$$ лежит на биссектрисах углов трапеции. Пусть $$\angle A=\angle D=\alpha$$. Поскольку $$AD \parallel BC$$, то

$$\angle B=180^\circ-\alpha.$$

Опустим перпендикуляры $$OE \perp AB$$ и $$OH \perp AD$$. Тогда

$$OE=OH=r.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OAH$$ и $$ODH$$. Они равны по катету $$OH$$ и острому углу, поэтому

$$AH=HD=\frac{AD}{2}=\frac{2a}{2}=a.$$

Из равенства касательных, проведённых из одной точки, получаем

$$AE=AH=a.$$

Тогда

$$BE=AB-AE=(a+b)-a=b.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BOA$$. Имеем

$$\angle BAO=\frac{\alpha}{2}, \qquad \angle ABO=\frac{1}{2}\angle B=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно,