Упр.6.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

6-34. Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, а диагональ $$AC$$ является биссектрисой углов $$A$$ и $$C$$. Тогда

$$\angle BAC=\angle CAD,\qquad \angle BCA=\angle ACD.$$

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то $$\angle A=\angle C$$. Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ имеют по две равные пары углов, значит, они подобны. При этом сторона $$AC$$ у них общая, поэтому коэффициент подобия равен $$1$$, и треугольники равны.

Из равенства треугольников получаем:

$$AB=BC,\qquad CD=DA.$$

Но в параллелограмме также $$AB=CD$$ и $$BC=DA$$, значит, все его стороны равны:

$$AB=BC=CD=DA.$$

Следовательно, параллелограмм $$ABCD$$ является ромбом.