Упр.3.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если две стороны треугольников и медиана, проведенная
к одной из них, равны, то такие треугольники равны;
Доказательство:
1) Пусть ABC и A1 B1 C1-треугольники, у которых AB=A1 B1,
BC=B1 C1 и CM=C1 M1 (медианы);
2) Так как стороны AB и A1 B1 равны, то и отрезки, на которые их
разбивают медианы, также равны: AM=MB=A1 M1=M1 B1;
3) Треугольники CBM и C1 B1 M1 равны по третьему признаку, отсюда
угол B = углу B1;
4) Треугольники ABC и A1 B1 C1 равны по первому признаку, что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad CM=C_1M_1,$$

где $$CM$$ и $$C_1M_1$$ — медианы.

Так как $$CM$$ и $$C_1M_1$$ — медианы, то

$$AM=MB,\quad A_1M_1=M_1B_1.$$

Из равенства $$AB=A_1B_1$$ получаем

$$AM=A_1M_1,\quad MB=M_1B_1.$$

Рассмотрим треугольники $$CBM$$ и $$C_1B_1M_1$$. В них

$$CB=B_1C_1,\quad BM=B_1M_1,\quad CM=C_1M_1.$$

Следовательно, $$\triangle CBM \cong \triangle C_1B_1M_1$$ по трём сторонам, откуда

$$\angle CBM=\angle C_1B_1M_1.$$

Но точки $$A, M, B$$ и $$A_1, M_1, B_1$$ лежат на одной прямой, значит лучи $$BA$$ и $$BM$$ совпадают, а также $$B_1A_1$$ и $$B_1M_1$$ совпадают. Поэтому

$$\angle CBA=\angle C_1B_1A_1.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle CBA=\angle C_1B_1A_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.