Упр.14.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите высоту треугольника со сторонами $$2\frac{1}{12}$$, $$3\frac{44}{75}$$, $$1{,}83$$, проведённую к стороне $$2\frac{1}{12}$$.

Обозначим стороны треугольника: $$a=2\frac{1}{12}\text{ см},\quad b=3\frac{44}{75}\text{ см},\quad c=1{,}83\text{ см}.$$ Найдём высоту, опущенную на сторону $$a.$$

Приведём длины сторон к дробям с общим знаменателем:

$$a=2\frac{1}{12}=\frac{25}{12}=\frac{625}{300},\quad b=3\frac{44}{75}=\frac{269}{75}=\frac{1076}{300},\quad c=1{,}83=\frac{183}{100}=\frac{549}{300}.$$

Полупериметр треугольника:

$$p=\frac{a+b+c}{2} =\frac{1}{2}\left(\frac{625}{300}+\frac{1076}{300}+\frac{549}{300}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{2250}{300} =\frac{375}{100}.$$

По формуле Герона находим площадь:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
$$S=\sqrt{\frac{375}{100}\left(\frac{1125}{300}-\frac{625}{300}\right)\left(\frac{1125}{300}-\frac{1076}{300}\right)\left(\frac{375}{100}-\frac{183}{100}\right)}$$
$$S=\sqrt{\frac{375}{100}\cdot\frac{500}{300}\cdot\frac{49}{300}\cdot\frac{192}{100}} =\sqrt{1{,}96}=1{,}4.$$

Теперь используем формулу площади через сторону и высоту:

$$S=\frac{1}{2}ah_a.$$
Отсюда
$$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot 1{,}4}{25/12} =\frac{2{,}8\cdot 12}{25} =\frac{33{,}6}{25} =1{,}344.$$

Ответ: $$1{,}344\text{ см}.$$