Упр.7.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: внутри окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от
центра;
Найти: найти наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки
до точек окружности;
Решение:
1) Пусть O-центр данной окружности, а D-точка, лежащая внутри
этой окружности, тогда: OD=d;
2) Проведем прямую OD, она пересекает окружность в точках A и B;
3) Так как отрезок AB проходит через точку O, то он является
диаметром данной окружности, значит: AB=2R и OA=OB=R;
4) Точка D лежит на отрезке OB, значит:
DB=OB-OD=R-d -наименьшее расстояние;
5) Точка D лежит на отрезке AB, значит:
DA=AB-DB=2R-(R-d)=R+d -наибольшее расстояние;
Ответ: R-d; R+d.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности, а $$D$$ — точка внутри неё, причём $$OD=d$$. Проведём прямую $$OD$$; она пересечёт окружность в точках $$A$$ и $$B$$.

Так как прямая $$AB$$ проходит через центр $$O$$, то $$AB$$ — диаметр окружности. Следовательно, $$OA=OB=R$$.

Точка $$D$$ лежит на отрезке $$OB$$, значит, наименьшее расстояние от точки $$D$$ до окружности равно

$$DB=OB-OD=R-d.$$

Точка $$D$$ лежит также на отрезке $$OA$$, поэтому наибольшее расстояние от точки $$D$$ до окружности равно

$$DA=OA+OD=R+d.$$

Итак, наименьшее расстояние равно $$R-d$$, а наибольшее — $$R+d$$.