Упр.13.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Около окружности радиуса $$r$$ описана равнобокая трапеция с основаниями $$2a$$ и $$2b$$. Докажите, что $$r^2=ab$$.

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция, у которой $$AD=2a$$ и $$BC=2b$$.

По свойству описанного четырёхугольника сумма противоположных сторон равна:

$$AD+BC=AB+CD.$$

Так как трапеция равнобокая, то $$AB=CD$$, значит

$$2a+2b=2AB,$$

откуда

$$AB=a+b.$$

Пусть $$\angle A=\angle D=\alpha.$$ Тогда, поскольку $$AD\parallel BC$$, имеем

$$\angle B=180^\circ-\alpha.$$

Обозначим через $$O$$ центр вписанной окружности. Тогда $$O$$ лежит на биссектрисах углов трапеции, поэтому

$$\angle OAD=\frac{\alpha}{2}, \qquad \angle ABO=\frac{1}{2}\angle B=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$

Опустим перпендикуляры $$OE\perp AB$$ и $$OH\perp AD$$. Тогда

$$OE=OH=r.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OAH$$ и $$ODH$$. У них общий катет $$OH$$ и равны острые углы при вершинах $$A$$ и $$D$$, значит треугольники равны. Следовательно,

$$AH=HD=\frac{AD}{2}=\frac{2a}{2}=a.$$

Так как отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, то

$$AE=AH=a.$$

Тогда

$$BE=AB-AE=(a+b)-a=b.$$

Рассмотрим треугольник $$BOA$$:

$$\angle AOB=180^\circ-\angle BAO-\angle ABO=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$BOA$$ прямоугольный, а $$OE$$ — высота, опущенная на гипотенузу $$AB$$. Тогда по свойству высоты прямоугольного треугольника

$$OE^2=AE\cdot BE.$$

Подставляя найденные значения, получаем

$$r^2=OE^2=a\cdot b=ab.$$

Что и требовалось доказать.