Упр.6.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: если диагональ параллелограмма является биссектрисой
его углов, то он является ромбом;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм, у которого диагональ AC
является биссектрисой углов A и C, тогда:
угол BAC = углу CAD = углу BCA = углу ACD (так как противолежащие углы пара-
ллелограмма равны);
2) Треугольники ABC и CDA являются равнобедренными с основанием
AC (так как углы при AC равны);
3) Помимо этого, треугольники ABC и CDA равны по второму признаку,
отсюда следует равенство их боковых сторон: AB=BC=CD=DA;
3) Так как у параллелограмма ABCD все стороны равны, то он является
ромбом (по определению), что и требовалось доказать.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, а диагональ $$AC$$ является биссектрисой углов $$A$$ и $$C$$. Тогда

$$\angle BAC=\angle CAD,$$

и

$$\angle BCA=\angle ACD.$$

Но в параллелограмме противолежащие углы равны, значит $$\angle A=\angle C$$. Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ имеют по две равные пары углов, поэтому они подобны. При этом сторона $$AC$$ у них общая, значит коэффициент подобия равен $$1$$, и треугольники равны.

Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих сторон:

$$AB=BC,\qquad CD=DA.$$

В параллелограмме также $$AB=CD$$ и $$BC=DA$$, поэтому все его стороны равны:

$$AB=BC=CD=DA.$$

Значит, параллелограмм $$ABCD$$ является ромбом.

Ответ

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то этот параллелограмм — ромб.