Упр.10.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найдите углы треугольника с вершинами $$A(0;\sqrt{3})$$, $$B(2;\sqrt{3})$$, $$C\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$.

Подробный ответ

Найдём углы треугольника по координатам его вершин.

Сначала вычислим векторы сторон, выходящих из точки $$A$$:

$$\overrightarrow{AB}=(2-0;\,\sqrt3-\sqrt3)=(2;0),$$

$$\overrightarrow{AC}=\left(\frac32-0;\,-\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3\right)=\left(\frac32;\,-\frac{3\sqrt3}{2}\right).$$

Найдём их длины:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+0^2}=2,$$

$$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{\left(\frac32\right)^2+\left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac94+\frac{27}{4}}=\sqrt{\frac{36}{4}}=3.$$

По формуле скалярного произведения:

$$\cos \angle A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|} =\frac{2\cdot \frac32+0\cdot \left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)}{2\cdot 3} =\frac{3}{6}=\frac12.$$

Значит, $$\angle A=60^\circ.$$

Теперь найдём угол $$B$$:

$$\overrightarrow{BA}=(-2;0),$$

$$\overrightarrow{BC}=\left(\frac32-2;\,-\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3\right)=\left(-\frac12;\,-\frac{3\sqrt3}{2}\right).$$

Тогда

$$|\overrightarrow{BA}|=2,$$

$$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac14+\frac{27}{4}}=\sqrt{\frac{28}{4}}=\sqrt7.$$

Находим косинус угла $$B$$:

$$\cos \angle B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|} =\frac{(-2)\cdot \left(-\frac12\right)+0\cdot \left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)}{2\sqrt7} =\frac{1}{2\sqrt7}.$$

Отсюда $$\angle B \approx 79^\circ 6′.$$

Третий угол найдём по сумме углов треугольника:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-60^\circ-79^\circ 6’=40^\circ 54′.$$

Ответ: $$\angle A=60^\circ,\ \angle B\approx 79^\circ 6′,\ \angle C\approx 40^\circ 54′.$$