Упр.7.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше половины периметра.

Пусть стороны треугольника равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$, а его периметр равен

$$P=a+b+c.$$

По неравенству треугольника имеем:

$$a<b+c,\quad b<a+c,\quad c<a+b.$$

Из неравенства $$a<b+c$$ получаем

$$2a<a+b+c=P,$$

значит,

$$a<\frac{P}{2}.$$

Аналогично:

$$2b<a+b+c=P,\qquad 2c<a+b+c=P,$$

откуда

$$b<\frac{P}{2},\qquad c<\frac{P}{2}.$$

Следовательно, каждая сторона треугольника меньше половины его периметра.