Упр.3.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Два отрезка $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников $$\triangle ACB$$ и $$\triangle BDC$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle BOD$$. Так как точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, а точки $$C, O, D$$ — на другой, то углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$, а также $$\angle AOD$$ и $$\angle BOC$$ — вертикальные. Следовательно,

$$\angle AOC=\angle BOD,\qquad \angle AOD=\angle BOC.$$

По условию $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$. Значит,

$$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$

по первому признаку равенства треугольников. Отсюда получаем

$$AC=BD.$$

Аналогично, из равенства $$AO=OB$$, $$CO=OD$$ и равенства вертикальных углов $$\angle AOC=\angle BOD$$ следует, что

$$\triangle AOB \cong \triangle COD,$$

откуда

$$AB=CD.$$

Теперь в треугольниках $$\triangle ACD$$ и $$\triangle BDC$$ имеем:

$$AC=BD,\qquad AD=BC,\qquad CD=DC.$$

Следовательно,