Упр.10.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 33. Найдите углы треугольника с вершинами А (0; корень 3), В (2; корень 3), C (3/2; корень 3/2).

Найдём углы треугольника по координатам его вершин.

Вычислим векторы сторон, выходящих из вершины $$A$$:

$$\overrightarrow{AB}=(2-0;\ \sqrt3-\sqrt3)=(2;\ 0),$$

$$\overrightarrow{AC}=\left(\frac32-0;\ \frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3\right)=\left(\frac32;\ -\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

Их длины:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+0^2}=2,$$

$$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{\left(\frac32\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac94+\frac34}=\sqrt3.$$

По формуле скалярного произведения:

$$\cos \angle A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\cdot \frac32+0\cdot \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=3,$$

$$\cos \angle A=\frac{3}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2},$$

откуда

$$\angle A=30^\circ.$$

Теперь найдём угол $$B$$.

$$\overrightarrow{BA}=(-2;\ 0),$$

$$\overrightarrow{BC}=\left(\frac32-2;\ \frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3\right)=\left(-\frac12;\ -\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

Длины:

$$|\overrightarrow{BA}|=2,$$

$$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac34}=1.$$

Тогда

$$\cos \angle B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}.$$

Вычислим скалярное произведение:

$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(-2)\cdot \left(-\frac12\right)+0\cdot \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=1,$$

значит

$$\cos \angle B=\frac{1}{2},$$

откуда

$$\angle B=60^\circ.$$

Третий угол найдём по сумме углов треугольника:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=30^\circ,\ \angle B=60^\circ,\ \angle C=90^\circ.$$