Упр.14.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите высоты треугольника, у которого стороны равны 13 см, 14 см и 15 см.

Пусть $$a=13$$ см, $$b=14$$ см, $$c=15$$ см — стороны треугольника, а $$h_a, h_b, h_c$$ — высоты, проведённые к этим сторонам.

Найдём полупериметр:

$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21\text{ см}.$$

По формуле Герона площадь треугольника равна:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)} =\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}.$$

$$S=\sqrt{7\cdot 3\cdot 4\cdot 2\cdot 7\cdot 3\cdot 2} =7\cdot 3\cdot 2\cdot 2=84\text{ см}^2.$$

Теперь найдём высоты по формуле $$S=\frac12 ah_a$$:

$$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot 84}{13}=\frac{168}{13}=12\frac{12}{13}\text{ см}.$$

Аналогично:

$$h_b=\frac{2S}{b}=\frac{2\cdot 84}{14}=\frac{168}{14}=12\text{ см},$$

$$h_c=\frac{2S}{c}=\frac{2\cdot 84}{15}=\frac{168}{15}=11{,}2\text{ см}.$$

Ответ: $$12\frac{12}{13}\text{ см},\ 12\text{ см},\ 11{,}2\text{ см}.$$