Упр.7.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: в треугольнике каждая сторона меньше половины периметра;
Доказательство:
1) Пусть стороны треугольника равны числам a, b и c;
2) Периметр этого треугольника равен: P=a+b+c;
3) Согласно неравенству треугольника: a < b+c, b < a+c и c < a+b; 4) Так как b+c > a и P=a+b+c, то сумма сторон b и c состаляет
большую часть периметра, следовательно a < P/2; 5) Аналогично доказывается: b < P/2 и c < P/2; 7) Таким образом, каждая сторона треугольника меньше половины периметра, что и требовалось доказать.

Пусть стороны треугольника равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$, а его периметр равен $$P=a+b+c$$.

По неравенству треугольника имеем:

$$a<b+c,\quad b<a+c,\quad c<a+b.$$

Рассмотрим, например, сторону $$a$$. Так как $$P=a+b+c$$, то

$$b+c=P-a.$$

Из неравенства $$a<b+c$$ получаем

$$a<P-a,$$

откуда

$$2a<P,\qquad a<\frac{P}{2}.$$

Аналогично доказывается, что

$$b<\frac{P}{2},\qquad c<\frac{P}{2}.$$

Следовательно, каждая сторона треугольника меньше половины периметра.

Ответ

$$a<\frac{P}{2},\quad b<\frac{P}{2},\quad c<\frac{P}{2}.$$