Упр.13.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом $$12\ \text{дм}$$. Точка касания делит её боковую сторону в отношении $$9:4$$. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$, а боковые стороны равны $$AB=CD=c$$.

Так как трапеция описана около окружности, то по свойству описанного четырёхугольника

$$AD+BC=AB+CD,$$

то есть

$$AD+BC=2c.$$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, значит

$$m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{2c}{2}=c.$$

Следовательно, нужно найти длину боковой стороны.

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности. Тогда $$O$$ лежит на биссектрисах углов трапеции. Опустим из точки $$O$$ перпендикуляр $$OE$$ на сторону $$AB$$. Тогда $$OE=r=12$$ дм.

По условию точка касания делит боковую сторону в отношении $$9:4$$, значит

$$AE:BE=9:4.$$

Обозначим $$AE=9x$$, $$BE=4x$$. В прямоугольном треугольнике $$AOB$$ высота $$OE$$, опущенная на гипотенузу $$AB$$, удовлетворяет соотношению

$$OE^2=AE\cdot BE.$$

Тогда

$$12^2=9x\cdot 4x,$$

$$144=36x^2,$$

$$x=2.$$

Следовательно,

$$AB=AE+BE=9x+4x=13x=26$$ дм.

Значит, средняя линия трапеции равна $$26$$ дм.

Ответ: $$26$$ дм.