Упр.11.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В остроугольном треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$AD$$, $$BE$$, $$CF$$. Найдите углы треугольника $$DEF$$, зная углы треугольника $$ABC$$ (рис. 260).

Так как в остроугольном треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$AD$$, $$BE$$ и $$CF$$, то по свойству ортоцентра треугольники с вершинами в точках пересечения высот и основаниях двух других высот подобны треугольнику $$ABC$$:

$$\triangle AEF \sim \triangle ABC,$$

откуда

$$\angle AFE=\angle C,\qquad \angle AEF=\angle B.$$

Аналогично

$$\triangle BDF \sim \triangle BAC,$$

следовательно

$$\angle BFD=\angle C,\qquad \angle BDF=\angle A.$$

И

$$\triangle CDE \sim \triangle CBA,$$

поэтому

$$\angle CDE=\angle A,\qquad \angle CED=\angle B.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$DEF$$:

$$\angle D=\angle CBD-\angle CDE-\angle BDF=180^\circ-2\angle A,$$

$$\angle E=\angle AEC-\angle AEF-\angle CED=180^\circ-2\angle B,$$

$$\angle F=\angle AFD-\angle AFE-\angle BFD=180^\circ-2\angle C.$$

Ответ: $$\angle D=180^\circ-2\angle A,\ \angle E=180^\circ-2\angle B,\ \angle F=180^\circ-2\angle C.$$