Упр.10.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны вершины треугольника $$A(1; 1)$$, $$B(4; 1)$$, $$C(4; 5)$$. Найдите косинусы углов треугольника.

Найдём косинусы углов треугольника по формуле

$$\cos \varphi=\frac{\vec u\cdot \vec v}{|\vec u|\cdot |\vec v|}.$$

1) Угол $$A$$:

$$\overrightarrow{AB}=(4-1;\,1-1)=(3;\,0),$$
$$\overrightarrow{AC}=(4-1;\,5-1)=(3;\,4).$$

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+0^2}=3,$$
$$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\cdot 3+0\cdot 4=9,$$
$$\cos A=\frac{9}{3\cdot 5}=\frac{3}{5}.$$

2) Угол $$B$$:

$$\overrightarrow{BA}=(-3;\,0),$$
$$\overrightarrow{BC}=(4-4;\,5-1)=(0;\,4).$$

$$|\overrightarrow{BA}|=3,\qquad |\overrightarrow{BC}|=4,$$
$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(-3)\cdot 0+0\cdot 4=0,$$
$$\cos B=\frac{0}{3\cdot 4}=0.$$

3) Угол $$C$$:

$$\overrightarrow{CB}=(0;\,-4),$$
$$\overrightarrow{CA}=(-3;\,-4).$$

$$|\overrightarrow{CB}|=4,\qquad |\overrightarrow{CA}|=5,$$
$$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}=0\cdot (-3)+(-4)\cdot (-4)=16,$$
$$\cos C=\frac{16}{4\cdot 5}=\frac{4}{5}.$$

Ответ: $$\cos A=\frac{3}{5},\ \cos B=0,\ \cos C=\frac{4}{5}.$$