Упр.15.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 32. Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 4 см. Стороны оснований равны 2 см и 8 см. Найдите площади диагональных сечений. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 15-32 76

Подробный ответ

Так как пирамида правильная, её основания — подобные квадраты. Обозначим большую сторону основания через $$8$$ см, меньшую — через $$2$$ см, а высоту усечённой пирамиды — $$4$$ см.

Найдём диагональ большего основания. Для квадрата со стороной $$8$$ см:

$$ AC=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\text{ см}. $$

Так как основания подобны, диагональ меньшего основания равна

$$ A_1C_1=\frac{2}{8}\cdot AC=\frac{2}{8}\cdot 8\sqrt{2}=2\sqrt{2}\text{ см}. $$

Диагональное сечение усечённой пирамиды — трапеция, у которой основания равны диагоналям оснований пирамиды, то есть $$8\sqrt{2}$$ см и $$2\sqrt{2}$$ см, а высота равна высоте усечённой пирамиды, то есть $$4$$ см.

Тогда площадь диагонального сечения:

$$ S=\frac{AC+A_1C_1}{2}\cdot h =\frac{8\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}\cdot 4 =\frac{10\sqrt{2}}{2}\cdot 4 =20\sqrt{2}\text{ см}^2. $$