Упр.5.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне (рис. 110).

Пусть даны отрезки $$a$$ и $$b$$, равные двум сторонам треугольника, и отрезок $$m$$, равный медиане к третьей стороне.

1. На произвольной прямой отметим точку $$M$$.
2. Проведём окружность с центром в $$M$$ и радиусом $$m$$. Она пересечёт прямую в точках $$C$$ и $$C_1$$.
3. Проведём окружность с центром в $$C_1$$ и радиусом $$b$$, а окружность с центром в $$C$$ и радиусом $$a$$. Их точку пересечения обозначим буквой $$B$$.
4. Проведём окружность с центром в $$M$$ и радиусом $$BM$$. Точку пересечения этой окружности с прямой $$BM$$ обозначим буквой $$A$$.

Треугольник $$ABC$$ — искомый.

Действительно, по построению $$MC=MC_1=m$$, значит, $$M$$ — середина отрезка $$CC_1$$. Кроме того, из построения имеем $$BC=a$$ и $$BC_1=b$$.

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$BMC_1$$. У них:

• $$AM=BM$$ по построению;
• $$MC=MC_1$$;
• $$\angle AMC=\angle BMC_1$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AMC \cong \triangle BMC_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$AC=BC_1=b$$.

Значит, в треугольнике $$ABC$$ сторона $$AC$$ равна $$b$$, сторона $$BC$$ равна $$a$$, а точка $$M$$ — середина стороны $$CC_1$$, то есть медиана $$BM$$ проведена к третьей стороне. Построение выполнено.