Упр.3.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 3-32. Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники $$ABE_1$$ и $$ABE_2$$ равны, то треугольники $$CDE_1$$ и $$CDE_2$$ тоже равны (рис. 65).

Пусть точки $$A,\,B,\,C,\,D$$ лежат на одной прямой. Докажем, что из равенства треугольников $$\triangle ABE_1$$ и $$\triangle ABE_2$$ следует равенство треугольников $$\triangle CDE_1$$ и $$\triangle CDE_2$$.

1. Из равенства $$\triangle ABE_1 \cong \triangle ABE_2$$ получаем:
   $$BE_1=BE_2,$$
   $$\angle ABE_1=\angle ABE_2.$$
2. Углы $$\angle CBE_1$$ и $$\angle CBE_2$$ являются смежными с равными углами $$\angle ABE_1$$ и $$\angle ABE_2$$, значит,
   $$\angle CBE_1=\angle CBE_2.$$
3. Рассмотрим треугольники $$\triangle CBE_1$$ и $$\triangle CBE_2$$. В них:
   $$CB$$ — общая сторона,
   $$BE_1=BE_2,$$
   $$\angle CBE_1=\angle CBE_2.$$
   Следовательно, $$\triangle CBE_1 \cong \triangle CBE_2$$ по первому признаку. Отсюда
   $$CE_1=CE_2,$$
   $$\angle BCE_1=\angle BCE_2.$$
4. Углы $$\angle CE_1D$$ и $$\angle CE_2D$$ смежные с равными углами $$\angle BCE_1$$ и $$\angle BCE_2$$, значит,
   $$\angle CE_1D=\angle CE_2D.$$
5. Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle CDE_1$$ и $$\triangle CDE_2$$. Имеем:
   $$CD$$ — общая сторона,
   $$CE_1=CE_2,$$
   $$\angle CE_1D=\angle CE_2D.$$
   Следовательно, $$\triangle CDE_1 \cong \triangle CDE_2$$ по первому признаку.

Что и требовалось доказать.